任务安排 2

一本通·提高篇 · 代码 · cpp · 难度 4/5 · 共 2114 字
同任务安排1，N达1e4，需用斜率优化求最小
一本通
例
正文

/*
原题：任务安排 2（一本通 5.6 例 2）
题意：同任务安排 1，N 达 1e4，需用斜率优化（修正项）求最小总费用。
思路：dp[i]=min{dp[j]+(S+st[i]-st[j])*(sc[n]-sc[j])}；化为直线 sc[j]·x+b_j 求 max，x=S+st[i]。
复杂度：O(N) 时间 / O(N) 空间
易错点：截距 b_j=-dp[j]+st[j]·sc[n]-st[j]·sc[j]，sc[n] 不能漏。
易错点：交叉相乘判凸包用 __int128，防 m·b 乘积溢出 long long。
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Line {
    long long m, b;
    long long eval(long long x) const {
        return m * x + b;
    }
};
struct CHT {
    bool isMax;
    deque<Line> q;
    CHT(bool mx) : isMax(mx) {}
    bool bad(const Line& l1, const Line& l2, const Line& l3) const {
        __int128 A = (__int128)(l2.b - l1.b) * (l2.m - l3.m);
        __int128 B = (__int128)(l3.b - l2.b) * (l1.m - l2.m);
        return isMax ? (A >= B) : (A <= B);
    }
    void add(long long m, long long b){
        Line l = {m, b};
        if(!q.empty() && q.back().m == m){
            if(isMax ? (l.b <= q.back().b) : (l.b >= q.back().b)) return;
            q.pop_back();
        }
        while(q.size() >= 2 && bad(q[q.size() - 2], q.back(), l)) q.pop_back();
        q.push_back(l);
    }
    long long query(long long x){
        int lo = 0, hi = (int)q.size() - 1;
        while(hi > lo){
            int mid = (lo + hi) / 2;
            long long v1 = q[mid].eval(x), v2 = q[mid + 1].eval(x);
            if(isMax ? (v2 > v1) : (v2 < v1)) lo = mid + 1;
            else hi = mid;
        }
        return q[lo].eval(x);
    }
};
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int N;
    long long S;
    if(!(cin >> N >> S)) return 0;
    vector<long long> st(N + 1, 0), sc(N + 1, 0);
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        long long t, c;
        cin >> t >> c;
        st[i] = st[i - 1] + t;
        sc[i] = sc[i - 1] + c;
    }
    vector<long long> dp(N + 1, 0);
    CHT cht(true);
    cht.add(sc[0], -dp[0] + st[0] * sc[N] - st[0] * sc[0]);
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        long long k = S + st[i];
        long long maxv = cht.query(k);
        dp[i] = k * sc[N] - maxv;
        cht.add(sc[i], -dp[i] + st[i] * sc[N] - st[i] * sc[i]);
    }
    cout << dp[N] << "\n";
    return 0;
}
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