玩具装箱

一本通·提高篇 · 代码 · cpp · 难度 4/5 · 共 2077 字
N件玩具顺序装箱，容器长度x=j-i+ΣC，
一本通
练习
正文

/*
原题：玩具装箱（一本通 5.6 练习 1，HNOI 2008）
题意：N 件玩具顺序装箱，容器长度 x=j-i+ΣC，费用 (x-L)^2，求最小总费用。
思路：令 a[i]=前缀和+i，则 x=a[i]-a[j]；dp[i]=(a[i]-L-1)^2+min{a[j]^2+dp[j]-2(a[i]-L-1)a[j]}，斜率优化。
复杂度：O(N) 时间 / O(N) 空间
易错点：容器含 j-i 个填充物，等价于把 L 加 1（即 x=a[i]-a[j]-1）。
易错点：直线截距 dp[j]+a[j]^2，查询点 x=-2(a[i]-L-1)，取 min。
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Line {
    long long m, b;
    long long eval(long long x) const {
        return m * x + b;
    }
};
struct CHT {
    bool isMax;
    deque<Line> q;
    CHT(bool mx) : isMax(mx) {}
    bool bad(const Line& l1, const Line& l2, const Line& l3) const {
        __int128 A = (__int128)(l2.b - l1.b) * (l2.m - l3.m);
        __int128 B = (__int128)(l3.b - l2.b) * (l1.m - l2.m);
        return isMax ? (A >= B) : (A <= B);
    }
    void add(long long m, long long b){
        Line l = {m, b};
        if(!q.empty() && q.back().m == m){
            if(isMax ? (l.b <= q.back().b) : (l.b >= q.back().b)) return;
            q.pop_back();
        }
        while(q.size() >= 2 && bad(q[q.size() - 2], q.back(), l)) q.pop_back();
        q.push_back(l);
    }
    long long query(long long x){
        int lo = 0, hi = (int)q.size() - 1;
        while(hi > lo){
            int mid = (lo + hi) / 2;
            long long v1 = q[mid].eval(x), v2 = q[mid + 1].eval(x);
            if(isMax ? (v2 > v1) : (v2 < v1)) lo = mid + 1;
            else hi = mid;
        }
        return q[lo].eval(x);
    }
};
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int N;
    long long L;
    if(!(cin >> N >> L)) return 0;
    L = L + 1;
    vector<long long> a(N + 1, 0);
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        long long c;
        cin >> c;
        a[i] = a[i - 1] + c + 1;
    }
    vector<long long> dp(N + 1, 0);
    CHT cht(false);
    cht.add(a[0], dp[0] + a[0] * a[0]);
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        long long x = -2 * (a[i] - L);
        long long minv = cht.query(x);
        dp[i] = (a[i] - L) * (a[i] - L) + minv;
        cht.add(a[i], dp[i] + a[i] * a[i]);
    }
    cout << dp[N] << "\n";
    return 0;
}
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