特别行动队

一本通·提高篇 · 代码 · cpp · 难度 4/5 · 共 2097 字
n名士兵连续分队，战斗力x修正为ax^2+b
一本通
练习
正文

/*
原题：特别行动队（一本通 5.6 练习 3，APIO 2010）
题意：n 名士兵连续分队，战斗力 x 修正为 ax^2+bx+c（a<0），求修正后战斗力和的最大值。
思路：dp[i]=a·s[i]^2+b·s[i]+c+max{dp[j]+a·s[j]^2-b·s[j]+(-2a·s[j])s[i]}，斜率优化。
复杂度：O(N) 时间 / O(N) 空间
易错点：a<0 故斜率 -2a·s[j] 单调递增，用 max 凸包。
易错点：截距 dp[j]+a·s[j]^2-b·s[j]，查询点 s[i]；注意 a、b 可为负用 long long。
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Line {
    long long m, b;
    long long eval(long long x) const {
        return m * x + b;
    }
};
struct CHT {
    bool isMax;
    deque<Line> q;
    CHT(bool mx) : isMax(mx) {}
    bool bad(const Line& l1, const Line& l2, const Line& l3) const {
        __int128 A = (__int128)(l2.b - l1.b) * (l2.m - l3.m);
        __int128 B = (__int128)(l3.b - l2.b) * (l1.m - l2.m);
        return isMax ? (A >= B) : (A <= B);
    }
    void add(long long m, long long b){
        Line l = {m, b};
        if(!q.empty() && q.back().m == m){
            if(isMax ? (l.b <= q.back().b) : (l.b >= q.back().b)) return;
            q.pop_back();
        }
        while(q.size() >= 2 && bad(q[q.size() - 2], q.back(), l)) q.pop_back();
        q.push_back(l);
    }
    long long query(long long x){
        int lo = 0, hi = (int)q.size() - 1;
        while(hi > lo){
            int mid = (lo + hi) / 2;
            long long v1 = q[mid].eval(x), v2 = q[mid + 1].eval(x);
            if(isMax ? (v2 > v1) : (v2 < v1)) lo = mid + 1;
            else hi = mid;
        }
        return q[lo].eval(x);
    }
};
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    if(!(cin >> n)) return 0;
    long long a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    vector<long long> s(n + 1, 0);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        long long x;
        cin >> x;
        s[i] = s[i - 1] + x;
    }
    vector<long long> dp(n + 1, 0);
    CHT cht(true);
    cht.add(-2 * a * s[0], dp[0] + a * s[0] * s[0] - b * s[0]);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        long long maxv = cht.query(s[i]);
        dp[i] = a * s[i] * s[i] + b * s[i] + c + maxv;
        cht.add(-2 * a * s[i], dp[i] + a * s[i] * s[i] - b * s[i]);
    }
    cout << dp[n] << "\n";
    return 0;
}
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